Рабочая программа Олимпиадная математика СОО

1. Комплекс основных характеристик программы
1.1. Пояснительная записка
Дополнительная общеобразовательная общеразвивающая программа «Олимпиадная
математика, 10-11 класс» составлена в соответствии с нормативными документами:
1.Федеральный Закон № 273-ФЗ от 29.12.2012 «Об образовании в Российской Федерации».
2.Концепция развития дополнительного образования детей (Распоряжение Правительства
Российской Федерации от 04.09. 2014 № 1726-р).
3.«Санитарно-эпидемиологические требования к устройству, содержанию и организации
режима работы образовательных организаций дополнительного образования детей», Пост
№ 41 об утв. СанПиН 2.4.4.3172-14 от 04.07.2014
4.Приказ Министерства Просвещения Российской Федерации (Минпросвещения России)
от 09.11.2018 № 196 «Об утверждении Порядка организации и осуществления
образовательной деятельности по дополнительным общеобразовательным программам».
5. Письмо Министерства образования и науки РФ от 18 ноября 2015 г. № 09-3242.
«Методические рекомендации по проектированию дополнительных общеразвивающих
программ (включая разноуровневые программы)».
Направленность программы – естественно-научная.
Актуальность программы. Актуальность рабочей программы состоит в том, что её
содержание направлено на освоение обучающимися знаний, умений и навыков на
продвинутом уровне по математике. Программа построена как расширение и углубление
содержания основного общего образования, соответствует требованиям к результатам
освоения основной образовательной программы основного общего образования,
прописанным в Федеральном государственном образовательном стандарте основного
общего образования. В ней учитываются основные идеи и тенденции развития
олимпиадного математического движения в Российской Федерации, учитываются
особенности проведения Всероссийской олимпиады школьников по математике на разных
этапах от школьного до всероссийского. Содержание программы вносит существенный
вклад в образование по математике на ступени основного общего образования, в
формирование основных математических понятий в области комбинаторики, в
приобретении умений строить математически строгие доказательства, применять теоремы
и идеи при решении олимпиадных задач.
Уровень освоения программы: продвинутый.
Адресат программы: обучающиеся 9-11 класса, возраст 14-18 лет. Набор
обучающихся в группы проводится без предварительного отбора.
Количество обучающихся в группе 20-25 человек.
Объем освоения программы:
1 год обучения – 5 часов в неделю, 180 часов в год.
Срок реализации программы: 1 год.

Периодичность и продолжительность занятий: 2 раза в неделю, по 2-3 часа.
Форма обучения: очная.
Особенности организации образовательной деятельности:
Группы формируются из желающих обучающихся соответствующих параллелей, состав
группы постоянный.
Учебный год начинается: с 1 сентября
Программу реализует педагог дополнительного образования.
Дополнительная общеобразовательная программа «Олимпиадная математика, 9-11 класс»
реализуется в течение всего учебного года, включая каникулярное время.

1.2. Цель, задачи программы
Цель программы: формирование у обучающихся навыков построения
математически строгих доказательств, использования идей и теорем при решении
олимпиадных задач, формирование необходимой теоретической базы для участия в
ВсОШ по математике, расширяющей и дополняющей содержание основного общего
образования.
Задачи программы:
Обучающиеся:
- овладеть основными понятиями комбинаторики, не входящими в курс основного общего
образования
- изучить новые идеи и методы рассуждений в математических задачах
- изучить теоретический материал в различных областях математики, необходимый для
участия в ВсОШ по математике.
Развивающие:
- развить интерес к занятиям математикой;
- развить навыки построения доказательств, устной презентации;
Воспитательные:
- получить опыт участия в математических олимпиадах и соревнованиях, необходимую
психологическую подготовку к олимпиадам, выработать терпение и ответственность.

1.3. Содержание программы
Учебный план

№
I.
1.
II.

из них
Всего
часов практика теория

разделы, темы
Входное тестирование
Входное тестирование
Модуль
«Алгебраические
методы»

Многочлены

Многочлены и делимость

От теоремы Эйлера

Применение
теории чисел

неравенств

Теория множеств

Комбинаторика

Задачи о таблицах

Классические неравенства

12. Производная
13. Производная и неравенства

14. Двойные отношения

11. Свойства функций

IV. Модуль «Геометрические
методы»

Тестовая

10. Комплексные числа
III. Модуль «Математический
анализ»

2
2

Форма
контроля/
аттестации

Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение

Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение

Устный опрос,
обсуждение

15. Гармонические четверки

180

114

16. Поворотная гомотетия
17. Комбинаторная геометрия
18. Инверсия
19. Проективная геометрия
V.

Тренировочные олимпиады

Всего

Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение
Устный опрос,
обсуждение
Устные и
письменные
олимпиады

Содержание учебного плана

Вводное занятие и тестирование.

Тема 1. Тестирование уровня школьников и входных знаний.
Теоретические занятия:
Знакомство с целями и задачами курса.
Практические занятия:
Входная диагностика.
II.

Модуль «Алгебраические методы»

Тема 2. Многочлены
Теоретические занятия:
Формальный многочлен. Теорема о единственности деления. Основная теорема
арифметики для многочленов. Теорема Безу. Кратность корней. Теорема Виета для
уравнений высших степеней. Интерполяционный многочлен.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 3. Многочлены и делимость
Теоретические занятия:
Теорема Безу для многочленов с целыми коэффициентами. Целозначные многочлены.
Содержание многочлена. Теорема Гаусса. Критерий неразложимости Эйзенштейна.
Практические занятия:

Решение задач.
Тема 4. От теоремы Эйлера.
Теоретические занятия:
Теорема Эйлера. Усиление теоремы Эйлера. Понятие показателя остатка по модулю.
Лемма об уточнении показателя. Многочлены в Zp[x]. Теорема о существовании
первообразного корня.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 5. Применение неравенств в теории чисел
Теоретические занятия:
Оценки, связанные с алгоритмом Евклида. Свойства ряда делителей. Слабый вариант
постулата Бертрана.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 6. Теория множеств
Теоретические занятия:
Счетные и несчётные множества. Континуальные множества. Построение биекций между
множествами. Отношение порядка на множествах. Теоремы Мирского, Дилуорса.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 7. Комбинаторика
Теоретические занятия:
Числа Каталана. Рекуррентные соотношения в комбинаторике. Оценочные задачи в
графах: критерий гамильтоновости, хроматическое число графа.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 8. Задачи о таблицах
Теоретические занятия:
Связь таблицы и двудольного графа. Лемма Холла. Раскраски клетчатых досок,
моделирование раскрасок по свойствам.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 9. Классические неравенства.
Теоретические занятия:
Неравенство Чебышева. Неравенство Титу. Неравенство Гёльдера. Диаграммы Юнга.
Симметрические многочлены. Теорема Мюрхеда.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 10. Комплексные числа

Теоретические занятия:
Понятие комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы КЧ. Модуль
КЧ. Гауссовы числа.
Практические занятия:
Решение задач
III.

Модуль «Математический анализ»

Тема 11. Свойства функций
Теоретические занятия:
Теоремы о существовании пределов. Монотонность и ограниченность. Сюръекия,
инъекция.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 12. Производная
Теоретические занятия:
Доказательство неравенств с помощью дифференцирования. Теоремы Ролля и Лагранжа.
Выпуклость функции. Связь корней многочлена и корней производной.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 13. Производная и неравенства.
Теоретические занятия:
Неравенство Юнга. Неравенство средних с весами. Метод Штурма для неравенств с
разделяющимися переменными. Неравенство Йенсена.
Практические занятия:
Решение задач
IV.
Модуль «Геометрические методы»
Тема 14. Двойные отношения
Теоретические занятия:
Понятие двойного отношения четверки точек. Симедиана. Гармоническая четверка точек
прямой. Сохранение двойных отношений при проектировании. Лемма об изогоналях.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 15. Гармонические четвёрки.
Теоретические занятия:
Гармоническая четвёрка и окружность Аполлония. Гармонический четырёхугольник.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 16. Поворотная гомотетия.
Теоретические занятия:
Свойства поворотной гомотетии. Подобные треугольники с общей вершиной. Точка
Микеля.
Практические занятия:

Решение задач
Тема 17. Комбинаторная геометрия
Теоретические занятия:
Выпуклая оболочка точек, опорная прямая. Идея проектирования на векторную сумму.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 18. Инверсия
Теоретические занятия:
Свойства инверсии. Ортогональные окружности. Лемма Архимеда. Доказательство
теоремы Фейербаха.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 19. Проективная геометрия
Теоретические занятия:
Параллельное проектирование. Аффинные инварианты. Центральное проектирование.
Стереографическая проекцция. Исключительная прямая. Окружность Римана. Полюс и
поляра. Теорема Паскаля. Теорема Брианшона. Теорема о бабочке. Теорема Брокара.
Практические занятия:
Решение задач
V.
Тренировочные олимпиады
Практические занятия:
Тренировочные олимпиады в форме устных разнобоёв перед муниципальным,
региональным и заключительными турами ВсОШ. Разборы задач с олимпиад.

1.4 Планируемые результаты.
К концу обучения обучающийся должен
ЗНАТЬ:






терминологию и основные понятия, используемые в олимпиадах школьников;
правила оформления олимпиадных работ;
основы тайм-менеджмента во время выполнения олимпиадных работ;
правила использования ссылок на факты и теоремы в олимпиадах разного уровня;
базовый набор теорем и фактов, выходящих за рамки общеобразовательного курса,
но считающихся общеизвестными в соответствии с традициями олимпиадного
математического движения;

УМЕТЬ:



строить логически завершённое доказательство в математических задачах;
выбирать структуру доказательств в зависимости от постановки вопроса;









строить математическую модель задачи, формулировать утверждения на
математическом языке;
применять теоремы и факты при решении задач;
обобщать утверждение задачи, строить частные утверждения на основе общего;
структурировать переборные решения, проводить исследование общей задачи на
основе упрощений и перебора;
находить известные геометрические конструкции или их части на чертеже;
проводить дедуктивный анализ задачи, формулировать необходимые шаги решения;
представлять решение задачи как в устной, так и в письменной форме;

2. Комплекс организационно-педагогических условий
2.1. Календарный учебный график

Месяц
№

Форма
занятия
Письменный
тест

Сентябрь

4.
5.

Сентябрь
Сентябрь

Сентябрь

7.
8.

Сентябрь
Сентябрь

Октябрь

10.

Октябрь

Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие
Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие
Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие

11.

Октябрь

Лекция

12.
13.

Октябрь
Октябрь

Олимпиада
Лекция

14.
15.

Октябрь
Октябрь

16.

Октябрь

17.

Ноябрь

Практическое
занятие
Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие

Количество
уч. часов Тема занятия
практ теор
2

Входное тестирование
3 Многочлены

Многочлены

Форма
контроля

Тестовая
Обсуждение
Устный опрос

Многочлены
2 Многочлены и делимость

Устный опрос
Обсуждение

Многочлены и делимость

Устный опрос

Многочлены и делимость
3 От теоремы Эйлера

Устный опрос
Обсуждение

2
3

От теоремы Эйлера
От теоремы Эйлера
Применение неравенств в
2 теории чисел

Устный опрос
Устный опрос

Олимпиада
2 Разбор олимпиады

Обсуждение
Письменная
работа
Обсуждение

Применение неравенств в
теории чисел
2 Теория множеств

Устный опрос
Обсуждение

Теория множеств

Устный опрос

Теория множеств

Устный опрос

18.

Ноябрь

19.

Ноябрь

20.

Ноябрь

21.

Ноябрь

22.
23.

Ноябрь
Ноябрь

24.
25.

Ноябрь
Ноябрь

26.
27.

Ноябрь
Декабрь

28.

Декабрь

29.
30.
31.

Декабрь
Декабрь
Декабрь

32.
33.

Декабрь
Декабрь

34.

Декабрь

35.
36.

Январь
Январь

37.

Январь

38.
39.
40.

Январь
Январь
Январь

41.

Январь

42.
43.

Февраль
Февраль

44.
45.

Февраль
Февраль

46.
47.

Февраль
Февраль

48.

Февраль

49.

Февраль

Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие
Практическое
занятие

3 Комбинаторика

Обсуждение

Комбинаторика

Устный опрос

Комбинаторика

Устный опрос

Задачи о таблицах

Олимпиада
Лекция
Практическое
занятие
Лекция
Практическое
занятие
Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие
Лекция
Лекция

Олимпиада
2 Разбор олимпиады

Устный опрос
Письменная
работа
Обсуждение

Задачи о таблицах
2 Классические неравенства

Устный опрос
Обсуждение

Классические неравенства
2 Классические неравенства

Устный опрос
Обсуждение

Классические неравенства

Устный опрос

Классические неравенства
3 Комплексные числа
2 Комплексные числа

Олимпиада
Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие
Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие
Лекция
Лекция
Практическое
занятие

Олимпиада
2 Разбор олимпиады

Устный опрос
Обсуждение
Обсуждение
Письменная
работа
Обсуждение

Комплексные числа

Устный опрос

Комплексные числа
3 Свойства функций

Устный опрос
Обсуждение

Свойства функций

Устный опрос

Свойства функций
2 Производная
3 Производная

Устный опрос
Обсуждение
Обсуждение

Олимпиада
Лекция
Практическое
занятие
Лекция
Практическое
занятие
Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие

Производная
Тренировочная олимпиада
перед РЭ ВсОШ
2 Разбор олимпиады

Устный опрос
Письменная
работа
Обсуждение

Производная
2 Производная и неравенства

Устный опрос
Обсуждение

Производная и неравенства
2 Двойные отношения

Устный опрос
Обсуждение

Двойные отношения

Устный опрос

Двойные отношения

Устный опрос

50.
51.
52.

Февраль
Март
Март

53.

Март

54.

Март

55.

Март

56.

Март

57.
58.

Март
Март

59.

Апрель

60.
61.

Апрель
Апрель

62.
63.
64.

Апрель
Апрель
Апрель

65.

Апрель

66.
67.

Апрель
Май

68.

Май

69.
70.

Май
Май

71.

Май

72.

Май

Олимпиада
Лекция
Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие
Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие
Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие
Лекция

Олимпиада
2 Разбор олимпиады
3 Гармонические четверки

Гармонические четверки

Устный опрос

Гармонические четверки

Устный опрос

2 Поворотная гомотетия
3

Олимпиада
Лекция
Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие
Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие
Лекция
Практическое
занятие
Практическое
занятие
Всего
180

Поворотная гомотетия

Обсуждение
Устный опрос

Поворотная гомотетия
3 Комбинаторная геометрия

Устный опрос
Обсуждение

Комбинаторная геометрия

Устный опрос

Комбинаторная геометрия
2 Инверсия
Тренировочная олимпиада
перед ЗЭ ВсОШ
2 Разбор олимпиады
3 Инверсия

Устный опрос
Обсуждение
Письменная
работа
Обсуждение
Обсуждение

114

Письменная
работа
Обсуждение
Обсуждение

Инверсия

Устный опрос

Инверсия
2 Проективная геометрия

Устный опрос
Обсуждение

Проективная геометрия

Устный опрос

Проективная геометрия
3 Проективная геометрия

Устный опрос
Обсуждение

Проективная геометрия

Устный опрос

Проективная геометрия

Устный опрос

2.2. Условия реализации программы
Материально-техническое обеспечение:
Занятия проводятся в аудитории, оборудованной классной доской и партами для
обучающихся. Специальные технические средства для реализации программы не
требуются.

2.3. Формы аттестации
Аттестация обучающихся проходит в течение года в форме письменных олимпиад.
Текущий контроль осуществляется систематически в процессе занятий, в форме
индивидуальных бесед с учеником или устного опроса.
Входной мониторинг проводится вначале учебного года.
2.4. Оценочные материалы
В процессе обучения и воспитания используется система оценок:
- объективное оценивание результатов работы на письменных олимпиадах по
семибальной шкале, в соответствии с общепринятой в международном сообществе
системой оценивания олимпиад;
- конкретный анализ трудностей и допущенных ошибок;
- конкретные указания на то, как можно улучшить достигнутый результат и качество.
Формы и виды контроля – входящий контроль (тестирование), письменные тренировочные
олимпиады.
Формы подведения итогов – письменные олимпиады, участие в математических турнирах,
перечневых олимпиадах.
2.5. Методическое обеспечение
На занятиях в зависимости от содержания используются следующие методы обучения:
словесный (лекция, объяснение, беседа);
практический (упражнения, тренировочные олимпиады);
наглядный (чертежи, иллюстрации);
творческий (самостоятельный поиск идей).
Образовательная деятельность организована в форме теоретических и практических
занятий, включающих индивидуальную работу с заданиями, лекции и беседы при изучении
теоретического материала, монолог-диалог, контроль качества знаний.
Модель учебного занятия представляет собой последовательность этапов в процессе усвоения
знаний обучающимися, построенных на смене видов деятельности: восприятие, осмысление,
запоминание, применение. Дидактические материалы включают задания, упражнения.
2.6. Список литературы
Методическая литература:
1. Агаханов Н.Х. и др., «Всероссийские олимпиады школьников по математике 19932006. Окружной и финальный этапы.». Москва, издательство МЦНМО, 2007.- 472
стр.
2. Васильев, С.Н.; Кумков, С.С.; Нохрин, С.Э.; Пыткеев, Е.Г.; Хлопин, Д.В.; Шевалдин,
В.Т., «Неэлементарные задачи элементарной математики. Том 3. Районные
олимпиады». Екатеринбург, УрО РАН, 2014.- 276 с.
3. Генкин, С.А.; Итенберг, И.В.; Фомин, Д.В., «Ленинградские математические
кружки». Киров, издательство «АСА», 1994.- 272 с.
4. Нохрин, С.Э.; Пыткеев, В.Г.; Шевалдин, В.Т., «Свердловские математические
олимпиады». Екатеринбург, издательство «Новое время», 2005.- 439 с.

5. Акопян, А.В., «Геометрия в картинках». Москва, издательство МЦНМО, 2011. – 130
с.
Электронные носители, сайты в Интернете:
Задачи – проект МЦНМО при участии школы 57 https://problems.ru/
ИПС «Задачи по геометрии» https://zadachi.mccme.ru/
Art of Problem Solving https://artofproblemsolving.com/